Aljabar Linear Contoh

$x + y = 170$ , $625 x + 350 y = 479$

Langkah 1

Tentukan $A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 625 & 350 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 170 \\ 479 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Langkah 2.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 350 - 625 \cdot 1$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Kalikan $350$ dengan $1$ .

$350 - 625 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $- 625$ dengan $1$ .

$350 - 625$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $625$ dengan $350$ .

$- 275$

Langkah 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Langkah 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 275} [\begin{array}{c} 350 & - 1 \\ - 625 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{275} [\begin{array}{c} 350 & - 1 \\ - 625 & 1 \end{array}]$

Langkah 2.6

Kalikan $- \frac{1}{275}$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{275} \cdot 350 & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{275}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{275} \cdot 350 & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.2

Faktorkan $25$ dari $275$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{25 (11)} \cdot 350 & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.3

Faktorkan $25$ dari $350$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{25 \cdot 11} \cdot (25 \cdot 14) & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{25 \cdot 11} \cdot (25 \cdot 14) & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{11} \cdot 14 & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.2

Gabungkan $\frac{- 1}{11}$ dan $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 14}{11} & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 14}{11} & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & - \frac{1}{275} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.5

Kalikan $- \frac{1}{275} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & 1 (\frac{1}{275}) \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.5.2

Kalikan $\frac{1}{275}$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ - \frac{1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.6

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{275}$ ke dalam pembilangnya.

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{- 1}{275} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.6.2

Faktorkan $25$ dari $275$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{- 1}{25 (11)} \cdot - 625 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.6.3

Faktorkan $25$ dari $- 625$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{- 1}{25 \cdot 11} \cdot (25 \cdot - 25) & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan.

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{- 1}{25 \cdot 11} \cdot (25 \cdot - 25) & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.6.5

Tulis kembali pernyataannya.

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{- 1}{11} \cdot - 25 & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.7

Gabungkan $\frac{- 1}{11}$ dan $- 25$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{- - 25}{11} & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 25$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{25}{11} & - \frac{1}{275} \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 2.7.9

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{25}{11} & - \frac{1}{275} \end{array}]$

Langkah 3

Kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan matriks balikan.

$([\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{25}{11} & - \frac{1}{275} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 625 & 350 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{25}{11} & - \frac{1}{275} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 170 \\ 479 \end{array}]$

Langkah 4

Semua matriks akan selalu bernilai $1$ jika dikalikan dengan balikannya. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{25}{11} & - \frac{1}{275} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 170 \\ 479 \end{array}]$

Langkah 5

Kalikan $[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} & \frac{1}{275} \\ \frac{25}{11} & - \frac{1}{275} \end{array}] [\begin{array}{c} 170 \\ 479 \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Langkah 5.2

Kalikan setiap baris pada matriks pertama dengan setiap kolom pada matriks kedua.

$[\begin{array}{c} - \frac{14}{11} \cdot 170 + \frac{1}{275} \cdot 479 \\ \frac{25}{11} \cdot 170 - \frac{1}{275} \cdot 479 \end{array}]$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks dengan mengalikan semua pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan $4250$ dengan $25$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{59021}{275} \\ \frac{106250 - 479}{275} \end{array}]$

Langkah 5.3.2

Kurangi $479$ dengan $106250$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{59021}{275} \\ \frac{105771}{275} \end{array}]$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kiri dan kanan.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{59021}{275} \\ \frac{105771}{275} \end{array}]$

Langkah 7

Tentukan penyelesaiannya.

$x = - \frac{59021}{275}$

$y = \frac{105771}{275}$